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Physically-Based Rending（PBR）

Microfacet BRDF

BRDF：Bidirectional Reflectance Distribution Function双向反射分布函数

\[ f_r\left(\omega_i \rightarrow \omega_r\right)=\frac{\mathrm{d} L_r\left(\omega_r\right)}{\mathrm{d} E_i\left(\omega_i\right)}=\frac{\mathrm{d} L_r\left(\omega_r\right)}{L_i\left(\omega_i\right) \cos \theta_i \mathrm{~d} \omega_i} \quad\left[\frac{1}{\mathrm{sr}}\right] \] 本质上，BRDF是指某一个点的irradiance在某个方向的radiance贡献，所以它是radiance / irradiance。

将表面表示成法线各向异性的粗糙平面，表面每个点上都有无数条各个方向的法线，可以理解为在半球上分布，集中于半球的中心法线。按照上图公式计算入射与出射：

F：从一个角度看过去，有多少的能量会被反射。因为能量的传播是与入射方向和法线的角度有关的

G：Shadowing-Masking Term。微表面的互相遮挡

D：微表面的法线分布。给定一个入射方向和一个出射方向，可以计算出半程向量h，将h带入半球法线分布中解得在这个点上有多少比例的法线是h方向，作为法线的贡献。因为我们假设只有h方向作为法线才可以实现给定的入射和出射方向的反射。

Fresnel

F项（Fresnel项）的解释。入射方向与法线越重合，反射的能量就越多。重合时称为grazing angle。 \[ \begin{aligned} R(\theta) & =R_0+\left(1-R_0\right)(1-\cos \theta)^5 \\ R_0 & =\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2 \end{aligned} \] 近似计算公式：第一个式子将R限制在R₀~1之间，当角度取90时R最大为1.第二个式子是R₀的定义，这几个n与材质相关。

Normal Distribution Function（NDF）

微表面法线模型，描述了法线分布，当大部分法线都向上时认为是glossy的。

Beckman分布

\[ D(h)=\frac{e^{-\frac{\tan ^2 \theta_h}{\alpha^2}}}{\pi \alpha^2 \cos ^4 \theta_h} \]

α：表面粗糙度

θ：半程向量h与法线n的夹角

本质上就是正态分布结合粗糙度的分布，是各向同性的。

为了保证在projected solid angle上积分为1，分母上加了一些系数。如上图，projected solid angle就是半球法线在平面上的投影角度。

Beckman分布的正态分布系数考虑的是坡度空间的tanθ，这样做的好处是保证微表面永远向上，不会出现向下的。

GGX（or Trowbridge-Reitz）

\[ D_{G G X}(\mathbf{m})=\frac{\alpha^2}{\pi\left((\mathbf{n} \cdot \mathbf{m})^2\left(\alpha^2-1\right)+1\right)^2} \]

m：半程向量h

n：宏观表面的法线n

GGX在角度较大的时候收敛较慢，可以形成较好的过渡光晕效果。

Shadowing-Masking Term

微表面的自遮挡系数，从光线出发，光线被遮挡叫shadowing，从人眼出发，看不到的现象叫masking。

对于左边的球体来说，球体边缘的dot（n，i）无限接近于0，导致函数的计算结果无限大，因此G项就是为了解决这个问题的。

Smith Shadowing-Masking Term

红线是Beckman，绿线是GGX，右图是对应的Smith Shadowing-Masking Term，可以发现垂直入射时几乎为1，在grazing angle上剧烈减少。

m为半程向量。

Energy loss

White Furnace Test

白炉测试（The White Furnace Test）的思路为验证入射总能量为1的光线的反射光线分布是否归一化的测试。可以将白炉测试理解为一束辉度（irrandiance）为1的光线从上往下照到菲涅尔反射项为1的材质表面，并测定反射光线总能量是否为1的过程。若反射光线总能量为1，则通过白炉测试，否则，便不通过白炉测试。白炉测试不考虑颜色。

对上述BRDF表达采用白炉测试的结果如下：

可以发现，粗糙度越高的物体，能量损失越大。这是因为越粗糙的表面，光线在表面的沟壑上弹射的概率越大，如果只考虑一次bounce，那么会损失在粗糙表面多次弹射的光线的能量。

The Kulla-Conty Approximation

如何补回这些损失的能量呢？一方面可以进行muti-bounce，只要bounce够多，就可以无限次近似。但是这样做太费了，更不可能应用到实时。因此可以通过一些公式近似去找补回来这些能量。基本思路就是假设我们四面八方任意一个角度入射的irradiance为1，那么我们从渲染方程得到的任意方向的出射irradiance E_（U0）理论上也应该是1。位置、出射方向已知，那么我们就需要通过一个式子计算出损失的1 - E_（μ0）。换句话说，我们要计算出另外一种BRDF表达函数，这个通过把这个函数带入渲染方程，可以计算得到损失的能量。

回顾渲染方程： \[ E_o\left(x, \omega_o\right)=L_e\left(x, \omega_o\right)+\int_{\Omega} f\left(x, \omega_o, \omega_i\right) L_i\left(x, \omega_i\right)\left(\omega_i \cdot n\right) d \omega_i \] 这里我们忽略位置x项，假设BRDF是各向同性的，即BRDF可以改写为f（θ_o，θ_i，φ）。

不考虑自发光项。如上文我们假设入射irradiance为1，即L_i项可以去掉。由于w_i与n都是归一化的，那么dot（w_i，n）就是单位立体角的cosθ项。对单位立体角的积分d_wi可以拆成sinθdθdφ，那么渲染方程可以写为以下形式： \[ E_o\left(\theta_o\right)=\int_0^{2 \pi} \int_0^\pi f\left(\theta_o, \theta_i, \varphi\right) \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi \] 将cosθ塞进去： \[ E_o\left(\theta_o\right)=\int_0^{2 \pi} \int_0^\pi f\left(\theta_o, \theta_i, \varphi\right) \sin \theta d \sin \theta d \varphi \] 令sinθ = μ \[ E_o\left(μ_o\right)=\int_0^{2 \pi} \int_0^1 f\left(μ_o, μ_i, \varphi\right) μ d μ d \varphi \] 由于BRDF的可逆性，因此除了考虑o方向,还要考虑i方向（也就是要考虑入射丢失的和出射丢失的）,同时要乘一个归一化的量c（可以是常量或函数）得出一个brdf也就是： \[ c\left(1-E\left(\mu_o\right)\right)\left(1-E\left(\mu_i\right)\right) \] 通过这个brdf积分后得到的结果要等于消失的能量1 - E_（μ0）。最终得到的需要补充的能量中BRDF项直接给出结果： \[ f_{\mathrm{ms}}\left(\mu_o, \mu_{\mathrm{i}}\right)=\frac{\left(1-E\left(\mu_0\right)\right)\left(1-E\left(\mu_i\right)\right)}{\pi\left(1-E_{\text {avg }}\right)} \] 其中： \[ E_{\mathrm{avg}}{(\mu_o)}=2 \int_0^1 E(\mu_i) \mu_i d \mu_i \] 上式就是我们最终要求得的BRDF表达，这个通过把这个函数带入渲染方程，可以计算得到损失的能量。证明如下： \[ \begin{aligned} E_{\mathrm{ms}}\left(\mu_0\right) & =\int_0^{2 \pi} \int_0^1 f_{\mathrm{ms}}\left(\mu_o, \mu_i, \phi\right) \mu_i d \mu_i d \phi \\ & =2 \pi \int_0^1 \frac{\left(1-E\left(\mu_0\right)\right)\left(1-E\left(\mu_i\right)\right)}{\pi\left(1-E_{\text {avg }}\right)} \mu_i d \mu_i \\ & =2 \frac{1-E\left(\mu_0\right)}{1-E_{\text {avg }}} \int_0^1\left(1-E\left(\mu_i\right)\right) \mu_i d \mu_i \\ & =\frac{1-E\left(\mu_0\right)}{1-E_{\text {avg }}}\left(1-E_{\text {avg }}\right) \\ & =1-E\left(\mu_0\right) \end{aligned} \] 在最终通过渲染方程计算shading point的时候，不单单要计算原始的BRDF，也要把新的补充BRDF加上。

对于E_avg，输入参数为观察角度μ，同时E与BRDF有关，可用roughness代替。因此这项不用实际计算，可以打个表：

Result

如上图，加上补充的能量之后效果就正常了。

BRDF With Color

有颜色就意味着，物体发生了能量吸收的情况，也就是有额外能量损失，也就是单次反射的积分结果不是1
因此我们可以先考虑没有颜色的情况，然后再乘以一个小于1的颜色系数

同理，为了简化计算，我们也定义了一个平均Fresnel项，不考虑入射方向，直接带入出射角度就可以算得Fresnel值: \[ F_{a v g}{(\mu_o)}=\frac{\int_0^1 F(\mu_i) \mu_i \mathrm{d} \mu_i}{\int_0^1 \mu_i \mathrm{d} \mu_i}=2 \int_0^1 F(\mu_i) \mu_i \mathrm{d} \mu_i \] 对于有颜色的物体，Fresnel项最大也要小于1

我们可以发现平均Fresnel项的形式与上文的E_avg完全一样，这也就是为什么叫avg，实际上也是只给定出射角度，一束光在这个角度到底能贡献多少。

在一次弹射时，出射的能量为F_avg * E_avg

在二次弹射时，出射的能量为F_avg * （1 - E_avg） * F_avg * E_avg

在N次弹射时，出射的能量为F_avg^N * （1 - E_avg）^N * F_avg * E_avg

1 - Fresnel项表示光被吸收的比率，1 - E项表示光在微表面内弹射本次bounce没有在对应的角度弹射出去的能量。

几何级数积分可得： \[ \frac{F_{\mathrm{avg}} E_{\mathrm{avg}}}{1-F_{\mathrm{avg}}\left(1-E_{\mathrm{avg}}\right)} \] 将这个级数计算出来的结果乘以假设不带颜色计算的结果，得到的就是考虑颜色的BRDF。

Linearly Transformed cosines（LTC）

LTC模型主要解决不考虑shadow的多边形光源在某一点的shading，主要使用GGX法线分布，且光源是uniform的。

lobe：波瓣。BRDF是四维的（入射出射各有两个角度的球面坐标输入）。一个lobe表示人眼方向固定，出射方向在该点的GGX分布下的分布，是二维函数表示的三维分布。lobe的形状是根据反射的强度得到的，也就是BRDF的取值。对于普通的DDX分布来说，最高点与宏观表面法线重合，向两边正态分布，那么如上图，半程向量h与宏观法线n重合时lobe取值最大，然后向两侧逐渐减小，最终呈花瓣状。

BRDF是与出射角度有关的。对于面光源，理论上需要BRDF在光源lobe重合的角度上进行积分，实际上需要采样很多很多的点才能计算出对shading point的贡献。我们注意到lobe的分布与余弦分布很像，都是中间高两边低，那么可以采用一种变换将lobe转换为cos分布。

参考《GAMES202：高质量实时渲染》4 实时高质量着色：Microfacet Model、LTC（Linearly Transformed Cosines）、非真实感渲染（NPR） - 知乎 (zhihu.com)

Disney Principled BRDF

微表面模型有一定的局限性，首先它很难描述多层材质，例如木桌面上刷了一层漆，有一部分光线穿过漆面打到木质上，然后再反射等一系列过程。其次它不好用，它引用的一些影响效果的PBR参数都是基于物理的，对于艺术家来说很不友好。例如金属的折射率在物理上是一个a+bi的复数。Disney Principled BRDF不保证物理准确，但是很好用。

设计原则：

使用直观的参数，而不是物理参数来控制模型呈现的效果；
模型使用的参数尽可能的少；
参数的合理范围应该是从 0 到 1；
在必要时，即使参数的取值超出了 [0,1] 范围，也能得到有意义的结果；
所有的参数组合应该尽可能的稳健和合理；

subsurface:次表面反射,为了在BRDF中给你一种比diffuse还要平的效果.可以看出当subsurface为1时与0相比像是被压扁了一样.
metallic:金属性,顾名思义看起来像金属的程度.
specular:控制有多少镜面反射的内容,0为完全没有镜面反射内容,diffuse,1则表示全是镜面反射内容.
specular tint:镜面反射出的颜色无色(为0),还是偏向于自己物体本身的颜色(1).
roughness:粗糙度,为0表示全是镜面反射,为1表示没有镜面反射.
anisotropic:各向异性程度,可以理解为当为1的时候带来一种像是被刷过一样的效果.
sheen:可以理解为,在物体表面法线方向上长了绒毛,这让你在grazing angle(外圈)处看起来有一种雾化的感觉.
sheen tint:可以理解为绒毛造成的雾化效果颜色是无色,还是偏向物体本身的颜色.
clearcoat:可以理解为透明层的明显程度,0时表示没有透明层,1则表示有一层透明层(涂了一层清漆).
clearcoat gloss:透明层的光泽层度,为0就像被磨砂了一样,为1则表示完全光滑.

Disney's principle BRDF的优点:

1.容易理解和使用各参数(属性)

2.参数的混合组合使得可以在一个模型上显示出很多不同的材质.

3.开源

Disney's principle BRDF的缺点:

1.并不是完全基于物理的

2.巨大的参数空间使得拥有强大的表示能力,但是会造成冗余现象.

Non-Photorealistic Rendering（NPR）

NPR（非真实感渲染）目的是通过一些简单快速的处理，得到一些风格化的渲染结果，通常使用一些轻量级的解决方法，在着色器中进行一些简单而巧妙的处理。NPR通常在真实渲染的结果基础上进行。

描边

什么是边？

对于一个物体的各类边缘，定义如下：

boundary：物体边界B

Crease：折痕C

Materal Edge：材质边界M

Silhouette Edge：物体轮廓S，分布在外侧，由多个面共享

几何方法

对于S边，可以发现一个有趣的现象：S边的两个面，一个是可见的，一个是不可见的，S边处于交界处。换句话说，在S边附近分布的点，它的法线是和视线近似垂直的。即grazing angle位置。这种基于法线的描边有一个很明显的缺点，无法控制描边的粗细。

将物体背面的三角形轮廓扩大，然后全渲染成黑的，这是目前主流的描边方法，就是很耗。

同时，有着各种各样的优化方法，例如棱角剔除、vertex外扩等。

图像方法

可以使用不同的卷积核对图像进行filter，算出图像的边缘。图像锐化就是这样做之后再加回原图像。

同样，也可以用normal、depth进行判断。

色块

阈值化：当一个变量处于某个范围内时，直接将其设定为范围内的一个定值。

根据法线对diffuse shading阈值化

对diffuse、specular分别进行自由阈值化的结果

素描

素描效果：越暗的地方素描线条越多

可以定义一系列多级mipmap纹理，根据shading point的明暗去不同的纹理上查询。相邻的shading point在纹理上的采样点也应该相邻，保证线条连续。

由于素描是纯画在屏幕上的，并没有远近的效果，例如远处物体线条就会变小等。那么如果只用一级纹理，由于远处的物体UV变小，视觉上分辨率就会降低，会变暗，线条变小。我们采用上图中的mipmap，这种mipmap并没有改变线条的密度大小，保证了远近的物体线条密度都差不多。

Lumen在屏幕空间中使用GGX模拟specular分布的实际用法

GGX的输入参数是半程向量，输出法线的反射贡献。最容易想到的做法就是对于BRDF来说，我们已知半程向量，那么可以直接带入计算法线贡献即可，这样做对于diffuse材质很好，但是对于specular来说，对于整个半球进行大量采样是不划算的，因为只有一小块lobe有贡献，因此引入重要性采样。

先贴代码：

#if COMPUTE_ROUGH_SPECULAR

		float DiffuseLerp = GetDiffuseLerp(GBufferData.Roughness);

		uint NumSpecularSamples = NUM_SPECULAR_SAMPLES;

		// Prevent NaNs from ImportanceSampleVisibleGGX
		GBufferData.Roughness = max(GBufferData.Roughness, .01f);

		if (DiffuseLerp < 1.0f || GBufferData.ShadingModelID == SHADINGMODELID_CLEAR_COAT)
		{
			// For clear coat materials, screen probes are always providing the bottom layer reflections
			GBufferData.WorldNormal = GetClearCoatBottomNormal(GBufferData, GBufferData.WorldNormal);
		
			//@todo - derive mip from cone angle from roughness
				
			// Approximation made to move out of inner loop
			float RayPDFForMip = 1.0f;
			float SolidAngleSample = 1.0 / (NumSpecularSamples * RayPDFForMip);
			float CosConeHalfAngle = 1.0 - SolidAngleSample / (2.0 * PI);
			float NumTexels = sqrt(1.0f - CosConeHalfAngle) * ScreenProbeGatherOctahedronResolution;
			float MipLevel = clamp(log2(NumTexels), 0, ScreenProbeGatherMaxMip);
			FSphericalGaussian HemisphereSG = Hemisphere_ToSphericalGaussian(GBufferData.WorldNormal);
			FSphericalGaussian VisibleSG = BentNormalAO_ToSphericalGaussian(UnitBentNormal, AO);

			for (uint TracingRayIndex = 0; TracingRayIndex < NumSpecularSamples; TracingRayIndex++)
			{
				float4 E = ComputeIndirectLightingSampleE(DispatchThreadId.xy, TracingRayIndex, NumSpecularSamples);
				
				E = BiasBSDFImportantSample(E);

				FBxDFSample BxDFSample = SampleBxDFWrapper(SHADING_TERM_SPECULAR, GBufferData, V, E);
				float3 InterpolatedRadiance = InterpolateFromScreenProbes(BxDFSample.L, MipLevel, StochasticScreenProbeSample);

				float DirectionVisibility = 1.0f;

				#if SCREEN_SPACE_BENT_NORMAL
					float LVisibility = saturate(Evaluate(VisibleSG, BxDFSample.L) / Evaluate(HemisphereSG, BxDFSample.L));
					DirectionVisibility *= LVisibility;
				#endif

				SpecularLighting += TonemapLighting(InterpolatedRadiance * BxDFSample.Weight * DirectionVisibility);
			}

			SpecularLighting = InverseTonemapLighting(SpecularLighting / (float)NumSpecularSamples);
		}

		//@todo - replace with SH fit of GGX
		SpecularLighting = lerp(SpecularLighting, DiffuseLighting / PI, DiffuseLerp);
#else
		//SpecularLighting = DiffuseLighting;
#endif	



FBxDFSample SampleBxDFWrapper(const uint TermMask, FGBufferData GBuffer, float3 V, float4 E)
{
	return SampleDefaultLitBxDF(TermMask, GBuffer, V, E);
	//return SampleBxDF(TermMask, GBuffer, V, E);
}

FBxDFSample SampleDefaultLitBxDF(uint TermMask, float3 WorldNormal, float Roughness, float3 V, float4 E)
{
	TermMask &= SHADING_TERM_DIFFUSE | SHADING_TERM_SPECULAR;

	float2 DiskE = UniformSampleDiskConcentric(E.xy);

	float3 N = WorldNormal;
	float3x3 TangentBasis = GetTangentBasis(N);

	// TODO: stocastically choose SHADING_TERM_D or SHADING_TERM_DIFFUSE if TermMask == (SHADING_TERM_D | SHADING_TERM_SPECULAR)

	FBxDFSample BxDFSample = (FBxDFSample)0;
	if (TermMask == SHADING_TERM_DIFFUSE)
	{
		float TangentZ = sqrt(1 - length2(DiskE));

		BxDFSample.L = mul(float3(DiskE, TangentZ), TangentBasis);
		BxDFSample.PDF = TangentZ * rcp(PI);
		BxDFSample.Weight = 1.0;
		BxDFSample.Term = SHADING_TERM_DIFFUSE;
	}
	else if (TermMask == SHADING_TERM_SPECULAR)
	{
		float a2 = Pow4(Roughness);

		float3 TangentV = mul(TangentBasis, V);

#if 1
		// PDF = G_SmithV * VoH * D / NoV / (4 * VoH)
		// PDF = G_SmithV * D / (4 * NoV);
		float4 TangentH = ImportanceSampleVisibleGGX(DiskE, a2, TangentV);
#else
		// PDF = D * NoH / (4 * VoH),
		float4 TangentH = ImportanceSampleGGX(E.xy, a2);
#endif

		float HPDF = TangentH.w;

		float3 H = mul(TangentH.xyz, TangentBasis);

		float VoH = saturate(dot(V, H));

		BxDFSample.L = 2 * dot(V, H) * H - V;
		BxDFSample.PDF = RayPDFToReflectionRayPDF(VoH, HPDF);

		// float D = D_GGX(a2, NoH);
		// float G_SmithL = 2 * NoL / (NoL + sqrt(NoL * (NoL - NoL * a2) + a2));
		// float Vis = Vis_Smith(a2, NoV, NoL);
		// float3 F = F_Schlick(GBuffer.SpecularColor, VoH);

		// Correct integration applies DGF below but for speed we apply EnvBRDF later when compositing
		// BxDFSample.Weight = F * ( NoL * Vis * (4 * VoH / NoH) ); // for ImportanceSampleGGX
		// BxDFSample.Weight = F * G_SmithL; // for ImportanceSampleVisibleGGX
		BxDFSample.Weight = 1.0;

		BxDFSample.Term = SHADING_TERM_SPECULAR;
	}

	return BxDFSample;
}

// [ Heitz 2018, "Sampling the GGX Distribution of Visible Normals" ]
// http://jcgt.org/published/0007/04/01/
// PDF = G_SmithV * VoH * D / NoV / (4 * VoH)
// PDF = G_SmithV * D / (4 * NoV)
float4 ImportanceSampleVisibleGGX( float2 DiskE, float a2, float3 V )
{
	// NOTE: See below for anisotropic version that avoids this sqrt
	float a = sqrt(a2);

	// stretch
	float3 Vh = normalize( float3( a * V.xy, V.z ) );

	// Stable tangent basis based on V
	// Tangent0 is orthogonal to N
	float LenSq = Vh.x * Vh.x + Vh.y * Vh.y;
	float3 Tangent0 = LenSq > 0 ? float3(-Vh.y, Vh.x, 0) * rsqrt(LenSq) : float3(1, 0, 0);
	float3 Tangent1 = cross(Vh, Tangent0);

	float2 p = DiskE;
	float s = 0.5 + 0.5 * Vh.z;
	p.y = (1 - s) * sqrt( 1 - p.x * p.x ) + s * p.y;

	float3 H;
	H  = p.x * Tangent0;
	H += p.y * Tangent1;
	H += sqrt( saturate( 1 - dot( p, p ) ) ) * Vh;

	// unstretch
	H = normalize( float3( a * H.xy, max(0.0, H.z) ) );

	return float4(H, VisibleGGXPDF(V, H, a2));
}

上述代码是Lumen Finalgather Screenprobe中对于清漆材质的specular处理过程。首先我们要清楚我们已知什么：相机位置（视角）和shading point。

在shading point上以DispatchThreadId为中心进行给定数量的indirect方向采样，得到向量E
对E进行y方向的偏置，使得y更加密集分布在0.5附近内，然后将相应参数传入SampleBxDFWrapper进行计算
在SampleDefaultLitBxDF函数中，以E为中心进行半球面圆盘采样，得到新的方向DiskE
将新的DiskE、相机位置、specular参数a2带入ImportanceSampleVisibleGGX函数进行计算
ImportanceSampleVisibleGGX是2.18年一篇论文《Sampling the GGX Distribution of Visible Normals》的实现，实际上也是一种GGX分布。返回半程向量H和PDF
BxDFSample.L = 2 * dot(V, H) * H - V就是通过H和V将半程向量H转换为入射方向
从入射方向收集radiance
……

由上可知，在重要性采样中，==最开始的入射方向E其实就是随机数种子==，将种子带入BRDF采样函数中才能得到最终的入射方向和PDF

计算机图形学

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