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PCF的数学原理

x为shading point，投影到shadow map上为点p，q为包含p的范围N内的一点

对于PCF的filter/convolution卷积：

w函数为根据距离等因素设置的加权，对于范围N内的每一个点q，函数值都要加权平均再相加，最后得到p点的值。

对于PCSS的卷积：

函数的输出为点x的visibility。X函数为符号函数，变量大于零，函数值为1，否则为零。函数内部为点q与点x的深度值之差。若点q挡住了x，则X函数值为0。挡不到的话，X函数值为1。最后对N区域内无遮挡的点进行加权平均，最后得到visibility。

对于PCF的软阴影PCSS，不要理解为对shadow map本身进行加权平均再比较，这样得到的结果仍旧是非零即一，软阴影要做的就是避开非零即一的情况。

且PCF不是对于图像空间内的x点的visibility进行加权平均。（PPT写错了，应该是包含x的范围N内的任意点y）

对PCF的各种优化

由于PCSS在第一步和第三步都要对一整片区域进行filter，因此效率很低。工业界目前采用取部分采样点的方法，但会产生噪声。

可以采用正态分布的方法近似求得filter结果：均值决定尖在哪，方差决定了胖瘦。

应用正态分布，PCF问题可以简化为在Shadow Map上指定任意一块区域，求深度平均值和方差。

求平均值可以采用mipmap或者SAT方法（见后文）。求方差可以直接用均值与方差的公式求出。为了求平方的均值，另起一张图记录每个深度的平方。在生成shadow map的同时生成square-depth map。

对于想要求得的shading point x，可以通过均值和方差画出正态分布图，统计CDF(x)，即计算点x之前的面积。工业界直接打表，计算error function（误差函数）。

可以用切比雪夫不等式近似拟合函数，输入该点的均值和方差，得到的结果为大于点t的函数值，其值不会超过一个上界，甚至不要求是正态分布，对于任意分布都可以这样解。切比雪夫不等式要求t在均值的右边，在左边就不准确了。

基于以上步骤进行第三步PCF，生成深度图、深度平方图、mipmap、切比雪夫等均需要常数的时间复杂度，因此非常快。但是需要不断更新各种图，也会带来一定的开销。

解决了第三步的PCF效率问题，我们回头来看第一步。第一步主要是为了找出在一定范围内的遮挡物深度，后面再做平均等操作。如图，假设shading point深度为7，则蓝色区域为遮挡物，红色区域为未遮挡。

对于第一步的求平均深度，可以采用以下简化的方式快速得出：计算非遮挡物像素所占比例与非遮挡物平均深度，加上遮挡物像素所占比例与遮挡物平均深度乘积，得到的值就是整体的平均深度。两个像素所占的比例可以通过切比雪夫不等式近似快速得出，遮挡物平均深度已知，非遮挡物的平均深度直接近似为t！这个假设在shadow面为平面时十分适用。

给你一张图，和图上的任何一个矩形区域，如何快速求出平均值？

最简单的一定是mipmap，做快速、近似、方形的差值操作。层与层之间可以进行三线性差值求出中间层。

SAT

SAT（Sumed Area Table）采用前缀和的方式求平均，将范围内求平均转化为范围内求和的问题。SAT采用预处理的方式先求一遍前缀和，SAT上任何一个元素都代表原始数组从头加到当前位置的总和。可以采用相减的方式求中间任意一段和。

对于二维情况，我们可以使用区域相加减的方式得出任意一个矩形区域的和。通过观察可以得出，相加减的项都是从左上角出发的。因此我们需要一张表，表中记录了从左上角到当前顶点的深度和。基于此，在计算中只需要查四次表就行了。实际上我们只需要先每一行中每一项进行相加计算前缀和，在此基础上每一列再分别计算前缀和，得到的即为一张SAT表。